三、圓與三角學 (第 3 頁)

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《基礎幾何學》

三、圓與三角學（第 3 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系
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習題

(1)

証用正弦、餘弦的複角公式推導下述積化和公式，即

$\begin{eqnarray*} \cos A\cdot \cos B &=& \frac{1}{2}\big(\cos (A+B)+\cos (A-B)\b... ...sin A\cdot \cos B &=& \frac{1}{2}\big(\sin (A+B)+\sin (A-B)\big) \end{eqnarray*}$

(2)

在上式中，令 $A+B=\alpha$ , $A-B=\beta$ 。易見 $A=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$ , $B=\frac{1}{2}(\alpha-\beta)$ ，用之即可把習題 (1) 中的積化和公式轉化成和化積公式。再者，試用類似于[圖 3-5] 者，說明它們和圓的反射對稱之間的關係。

(3)

試求用 $\cos \theta$ 分別表達 $\cos\frac{\theta}{2}$ 和 $\sin\frac{\theta}{2}$ 的公式（亦即半角公式）。

(4)

試用下述圖解求

(i): 用 $\cos \theta$ 和 $\sin\theta$ 表達 $\tan\frac{\theta}{2}$ 的公式。
(ii): 用 $\tan\frac{\theta}{2}$ 表達 $\cos \theta$ 和 $\sin\theta$ 的公式。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0314.e... ... {\theta}/{2}} ,(2.9,2.65)*+{\theta} ,(5.15,2.38)*+{x} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-14 ]

(5)

試用二項定理和

$\begin{displaymath} (\cos \theta +i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta \end{displaymath}$

求得正弦、餘弦 n-倍角公式。

(6)

試求 zⁿ-1=0 的所有複數解。

(7)

試求 zⁿ-(1+i)=0 的所有複數解。

(8)

試求用 $\bigtriangleup ABC$ 的兩邊一夾角 {a,b,C} 表達其他一邊和兩角（即 c 和 A, B）之公式。

(9)

試求用 $\bigtriangleup ABC$ 的兩角一夾邊 {A,B,c} 表達其他一角和兩邊（即 C 和 a, b）之公式。

(10)

如 [圖 3-15] 所示，P₁, P₂ 的極坐標分別是 $(r_1,\theta_1)$ 和 $(r_2,\theta_2)$ 。試求 $\overline{P_1P_2}^2$ 和 $\bigtriangleup OP_1P_2$ 的有向面積的極坐標公式。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0315.e... ...*+{P_2(r_2,\theta_2)} ,(4.85,1.7)*+{P_1(r_1,\theta_1)} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-15 ]

(11)

如 [圖 3-16] 所示，α 是直線 $\ell$ 和矢徑 $\overrightarrow{OP}$ 之間的夾角， $\alpha_0$ 是 $\ell$ 和基準方向 $\overrightarrow{OA}$ 之間的夾角，ω 是 $\ell$ 的法線 (normal line) 的方向角，d 是原點和 $\ell$ 之間的距離。試証

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & r\cdot \sin\alpha =r_0\sin\alpha_... ...\ & \sin\alpha =\cos(\theta-\omega) \\ \end{eqalign}\right. \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0316.e... ...,(3.26,1.68)*+{P_0(r_0,0)} ,(3.85,3.05)*+{P(r,\theta)} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-16 ]

(12)

計算 [圖 3-12'] 中三角形 $\bigtriangleup ABC$ 的面積平方 $(\bigtriangleup ABC)^2$ ，並試將所算的結果給以幾何解釋。

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最後修改日期：6/19/2004