項武義

基本概念和基本結構 平面上的次序與分隔 對稱性 平行性

幾何學乃是人類理性文明，對于我們和大自然中的萬物萬象共存于其中的空間的「認識論」。宇宙中的所有事物皆存在于其中、發生于其內，當然也永遠受著空間本質的制約與蘊育。幾何學的課題也就是去研究、理解空間的本質，它是我們研討大自然、理解大自然的自然起點和基石所在；它也是整個自然科學的啟蒙者和奠基者，是理所當然的第一科學。不論在自然科學的發展順序上，或在全局的基本重要性上，幾何學都是當之無愧的先行者與奠基者，也是種種科學思想和方法論的自然發祥地。它源遠流長，歷經數千年世代相承精益求精的研究和逐步逐階的進展，至今依然根深幹粗，蓬勃茁壯。在現今廿一世紀，它會繼續是開拓新知的有力工具，而自然科學的拓展又必然對于空間幾何學的理解深度和廣度提出新的要求和問題。總之自然科學和幾何學的進展是密切相關、相輔相成的。伽利略 (Galileo) 曾說：「上帝必定是一個幾何學家 (God must be a geometer)。」 其所指也許就是上述自然科學和幾何學之間的自然結合。

自古到今，幾何學的研究在方法論上大體可以劃分成下述幾個階段：

(1)

實驗幾何：用歸納實驗去發現空間之本質。

(2)

推理幾何：以實驗幾何之所得為基礎，改用縯譯法，以邏輯推理去探索新知，並對于已知的各種各樣空間本質，精益求精地作系統化和深刻的分析。在這方面，古希臘文明獲得了輝煌的成就，它也是全人類理性文明中的重大篇章。

(3)

坐標解析幾何：笛卡兒 (Descartes) 和費瑪 (Fermat) 通過坐標系的建立，把當代數學中的兩大主角——幾何學和代數學——簡明有力地結合起來，開創了近代數學的先河。其自然而然的結果是微積分的產生和大量地運用解析法研討自然現象。

(4)

向量幾何：從現代的觀點來看， 空間最為根本而且控制全局的本質乃是由它的所有保長變換所構成的變換群 (transformation group)，通常又稱之為 3-維的歐氏群 (Euclidean group of )，而幾何學所研究者就是這個變換群的不變量理論 (invariant theory) 。因為所有幾何量都根源于長度，所以必然在保長變換之下保持不變；反之，任何在保長變換群的作用之下保持不變的（亦即不變量—invariants）也都具有幾何意義，而且也一定根源于長度。向量幾何在本質上乃是坐標解析幾何的返璞歸真，它的最大優越性在于向量運算的正交不變性 (orthogonal invariance)。可以說，向量幾何乃是不依賴于坐標系的解析幾何 (coordinate-free analytical geometry)，它自然而然地化解了原先在坐標解析幾何中，由坐標系的選取所引入的各種各樣（非幾何的）非不變量的困擾！ Hamilton 和 Grassmann 分別是 3-維和高維的向量代數的創始者。

位置 (location) 是空間的基本概念之中最為原始者。空間本身其實就是宇宙之中所有可能的位置的總體。在幾何學的討論中，通常用點 (point) 來標記位置， 所以點其實就是位置的抽象化 (abstraction)。當一個動點 (moving point) 由一個位置移動到另一位置，其所經過的點組成這個運動的通路 (path)。連結于空間各地之間的通路則是空間基本概念中第二個最原始者。再者，光線的普遍存在和我們的視覺很自然地啟示我們，並促使我們認識到空間的基本結構乃是：

「連結給定兩點之間的所有通路之中，有一條唯一的最短通路——它就是連結兩點的直線段。」

【基本幾何結構】：對于空間給定相異兩點 { A,B} 存在有唯一連結于 A, B 之間的最短通路，稱之為連結 A,B 的直線段 (interval)，將以符號 表示之。再者由 A 到 B 的最短通路可以向前無限延伸，稱之為由 A 射向 B 的射線，將以符號 表示之。而該線段向兩端無限延伸的通路，亦即 ，則稱之為由 { A,B} 所唯一確定的直線 (straight line)，將以符號 AB 表示之。

[註]：點是最為原始的幾何事物 (geometric object)，所有其他的幾何事物都是由點組合而成的。直線段和直線則是第二種最為原始的幾何事物，所有其他的幾何結構和性質都是由它們所表達的基本結構來刻劃和表述的。

直線和直線段之間，顯然有下述基本關係：

直線上的次序與分隔：

(i)

是 AB 的一個子集。若 而且 或 B ，則稱 C 位于 A, B 之間。再者，若 則 。

(ii)

直線 上任給一點 P 把直線 分割成兩段，稱為 P 的兩側。屬于同側的兩點 A₁, A₂ 其直線段 不包含 P；而屬于異側的兩點 A, B 其直線段 則包含 P。

設 { A,B,C} 是 中的相異三點，而且 ，則 和 中有一且僅有一包含 P 。再者，由相異兩點定一直線段（或一直線）這兩種密切相關的空間基本結構，就可以自然地定義下述兩種和兩者各別相容的子集。

【定義】：空間中的子集 若滿足性質：

則稱 為一個凸子集 (convex subset)。

【定義】：空間中的子集 若滿足性質：

則稱 為一個平直子集 (straight or rectilinear subset)。

顯然，所有平直子集也都是凸子集。但是，反之則不然。例如直線段 是一個凸子集，但是它並非平直子集，而直線 AB 本身則當然是一個平直子集和凸子集。

再者，由上述定義，易見凸子集的交集 (intersection) 還是凸子集，平直子集的交集還是平直子集。由此可見，對于空間給定的點集 ，在所有包含 的凸子集之中有一個唯一的最小者，它其實就是所有包含 的凸子集的交集是也，通常叫做 的凸包 (convex hull of )，我們將以 表示之。同樣地，所有包含 的平直子集的交集乃是那個包含 的平直子集中的最小者，通常叫做 由 所張的平直子集 (the rectilinear subset spanned by )，我們將以 表示之。

注意：我們將把空集合 和單點集合 { P} 想成凸子集和平直子集的特例。(因為它們根本不會含有相異兩點，所以其檢驗條件無從用起！)

【例子】：

(1)

當 只含有單個點者，則

,

(2)

當 是由相異兩點組成者，則

,

(3)

當 而且 A,B,C 不共線，則

是由不共線三點所張的平面。

(4)

當 是由不共面四點所組成者，則

是以 A,B,C,D 為其頂點的四面體，
它的四個面就是 , , 和 ，
而其所張的平直子集已經是全空間了！

= 全空間。

所以空間中的平直子集只有五種，即空集合 ，單點子集 { P} ，直線，平面和全空間。

由此可見，平面乃是僅次于全空間的平直子集，它是一種介乎于直線和全空間之間，而又具有連點直線段和直線這種空間基本結構的子空間。所以，平面乃是一種既比空間簡單而又保有空間基本結構的幾何結構。平面幾何學的課題就是研究平面上所保有的空間基本結構和所反映的各種性質。它是進而研討空間（立體）幾何學的自然而且非常理想的中途站。