李國偉

引言 新證 舊證 檢討

引言

南宋寧宗嘉定六年(西元一二一三年)鮑澣之翻刻的《周髀算經》，卷上一開始周公問商高「數安從出」之後，緊接著就有下面這段說明。

商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」

這裡記載了在中文文獻中最早一個西方數學稱為畢氏 (Pythagoras) 定理的待例，並且隱涵了該定理一般性的證明。所謂畢氏定理即為本文中稱作「勾股定理」的命題，斷言直角三角形中，以弦為邊的方形面積，恰為以勾為邊及以股為邊的方形面積和。根據劉徽注《九章算術•勾股》所說，「短面曰勾，長面曰股，相與結角曰弦」，可知直角三角形的最短邊叫勾，與其垂直的邊叫股，而斜邊叫弦。因此商高的特例便是勾長三，股長四，弦長五的情形。《周髀算經》卷上陳子教榮方求日高時，陳子說：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。」便有了「勾股各自乘，并而開方除之」的一般法則。雖然他所舉的數值，從髀至日下六萬里，日下至日八萬里，斜至日十萬里，都還是三、四、五的整倍數，但是對勾股定理的一般性在《周髀算經》成書的年代應該已經有正確的掌握。問世較晚的《九章算術•勾股》章在列完三、四、五的特例後，便接著說：「勾股術曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦。」幾乎就像是從《周髀算經》抄來的話。由此看來，如何由三、四、五的特例領悟出一般性的勾、股、弦關係，是深入認識《周髀算經》的有意義課題。

近代中國數學史家以李儼〈中算家之 Pythagoras 定理研究〉 ^註1 ，最早詳細討論勾股定理在中國的發展。因為現在所見《周髀算經》為三國吳人趙爽所注，而趙爽在「商高曰數之法出於圓方」章之後，緊接著有一篇「勾股圓方圖」的論說，得出勾、股、弦關係的多種命題，是一篇幾何學的傑作，所以自李儼以下，諸家的注意力多半集中在趙爽的「勾股圓方圖」，及其對勾股定理的證明上。比較具代表性的工作有沈康身〈劉徽與趙爽〉 ^註2 ，〈勾股術新議〉 ^註3 及陳良佐〈趙爽勾股圓方圖注之研究〉 ^註4 。但只有陳良佐在他的論文，及他的近作〈周髀算經勾股定理的證明與「出入相補」原理的關係——兼論中國古代幾何學的局限〉 ^註5 ，才深入研究分析了趙爽注「商高曰」一章。因此陳先生所討論的勾股定理證明，其實是趙爽由「商高曰」章中所理解出的證明。本論文的主要目的在嘗試由商高所說的話中，直接領悟出一種異於趙爽的證明。

在討論新證明之前，應該先說明若千方法學上的觀點。

中國古代的數學書籍，不論是正文或注解，字句經常相當簡略。而且中國文字有大量一字多義的曖昧現象，使得解釋上很難達到唯一的說法。因此在理解古算的時候，不必刻意追求那一種解釋是原作者的本意，因為證據通常不足以下最後的裁判。應該小心的是理解法不要與當時的知識背景產生明顯的矛盾。如果有好幾套不生矛盾的說法，不一定最簡單的就最接近原始的風貌。因為今日造出的簡單方法，其實是奠基在比當時更成熟的數學文化上。往往今日看作一小步的間隔，在古代卻可能是概念上的一大鴻溝。

在這種方法學的態度下，對古代數學還原的工作，是要理性重建一個當時可能的整體與多樣的學術景觀，從而品味與鑑賞透過數學創作所表達出人類心智活動的高度成就。