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.原載於《數學史研究文集》,第二輯,內蒙古大學出版社與九章出版社,1991,第6-14頁。
.作者任職於中央研究院數學研究所
 

中國古代對角度的認識

李國偉

 
 


一、角的定義

  除了點、線、面、體之外,角度應該是人類幾何直覺不難掌握的一個概念。但是在中國古典的天文、曆學與數學中,角度的認識似乎有欠圓滿。錢寶琮曾說︰「中國古代不知利用角度,然有《周髀》測望術,日、月、星辰在天空中地位,亦大概可知矣。」〔註1〕他還說︰「在後世數學書中,一般角的概念沒有得到應有的重視。」〔註2〕關增建則說︰「中國古代 365 $\frac{1}{4}$ 分度方法對於確定天體空間方位是有效的,惟其有效,才阻滯了其他分度方法的產生,導致了角度概念的不發達。」〔註3〕黃一農認為:「中國古代的天文家在明末西學傳入之前,一直未發展出近似西方幾何學嚴整的角度概念。當量度星體的角大小或兩點間的角距離時,文獻中所用古度值的意義常因人而異,有時近於現代的角度值,有時卻直接以渾儀環上的刻劃差來表示,故當以窺管測極星距極度或日、月的體徑時,其值往往較今幾何學中的角度值大一倍左右。」〔註4〕劉君燦更進一步斷言:「中國除了直角之外沒有一般的角度觀念。」〔註5〕

  其實角度比點、線等基本幾何概念的內涵更為豐富,因此可以從邏輯上等價,但著眼點迥異的方向來認識它。若要講究起來,現代數學甚至可由向量空間、旋轉群等出發,再逐步引入角度的概念。〔註6〕西方古典幾何學的代表作是歐幾里得的《幾何原本》,根據 Thomas L. Heath 的翻譯,定義八描述了平面角度的意義:

A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.〔註7〕

  這個定義在利瑪竇與徐光啟的《幾何原本》中譯為:「平角者,兩直線于平面縱橫相遇交接處。」〔註8〕並沒有點出「inclination」的意味。Heath 認為 inclination 是歐幾里得的創意,因為在他之前一般人是把角看作折曲或折斷的線。Heath 還綜述了西方古代對角度的種種不同看法,甚至角度應屬「質」、「量」還是「關係」哪一種範疇,也引起不少的議論。最後他引用十九世紀末 Schotten 的說法,把角度的定義方式劃分為三類:

  (一)角是兩條直線方向間的差別。
  (二)角是從一邊旋轉到達另一邊的量。
  (三)角是兩條直線相夾的那部分平面。

  既然西方幾何學中對角的認識也有幾套體系,我們似乎應該更致力釐清中國對角度理解的遞嬗與特色,而不必執著在古代是否有現代角度觀念的問題上。

 
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最後修改日期:3/10/2004