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.原載於《第一屆科學史研討會彙刊》,中央研究院,台北,1986,67-79頁。
.作者任職於中央研究院數學研究所

註釋
 

論保其壽的渾圓圖

李國偉

 
 


一、縱橫圖淵源概述

  在組合數學中有一種圖形,西方多稱為magic square,而國人採日譯常名為幻方或魔方陣者,就是將自然數 1,2,3,…,n 排入長寬均為 n 的方陣中,使得每行每列與兩條主對角線的和均為一定數,該定數很容易可知必為 n(n2 + 1) / 2。世界上最早見諸記載的魔方陣是下者:

 4   9   2 
 3   5   7 
 8   1   6 

第一世紀後半成書的《大戴禮記》在《明堂篇》述及「二九四,七五三,六一八」,應該就是指該方陣,也似乎因此而有《九宮算》的稱呼法。第六世紀後周人甄鸞注《數術記遣》「九宮算五行參數稍加循環」一段時,明言「九宮者,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央。」可確定是該方陣。

  到宋朝時因為方士的牽強扭合,以及儒者的順從緣飾,就把九宮圖附會到「河圖」「洛書」上,其實「河圖」與「洛書」到底是什麼,根本無法考察,但是劉牧《易數鉤隱圖》便說九宮圖是河圖,很多人也就因襲他的說法,最後是朱熹反認九宮圖為洛書,名稱才固定下來。到清聖祖康熙敕編《數理精蘊》時,開宗明義便說「粵稽上古,河出圖,洛出書,八卦是敘,數學亦於是乎肇焉。」更是把一個簡簡單單的圖形籠罩上無比的神祕色彩。

  對於不懂數學的人,這種圖形也許只引起神秘感,但是數學能力強的人,便會探求它的構造原理。西元一二七五年宋朝大數家楊輝寫成《續古摘奇算法》便有《縱橫圖》一節,並且首先說明洛書的作法,無非是「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出。」根據這種客觀分析的方法,楊輝又造了好多其他的方陣,以及非方形但仍有定和現象的別類圖形,所以「縱橫圖」這個稱呼所含的東西,比「魔方陣」更為廣泛。

  楊輝之後論及縱橫圖主要有,宋朝丁易東的《大衍索隱》;明朝程大位《算法統宗》(西元一五九三年);清朝方中通的《數度衍》(西元一六六一年);以及清朝張潮的《心齋雜俎》(西元一六七○元)。除了張潮較有創意外,其他大多因襲舊說。清朝梅玨成(西元一六八一年一∼西元一七九三年)著《增刪算法統宗》十一卷(西元一七六○年),因為河圖洛書神祕色彩過重,又無多大實用價值,就把各個縱橫圖都刪掉了。因為梅的書使用流通很廣,致使縱橫圖的發展幾乎完全中斷。反倒是《算法統宗》傳人日本,促成日本數學家研究縱橫圖的興趣。譬如礒村吉德(?一西元一七○九年),關孝和(?一西元一七○八年)都有創作,特別是一些圓形的縱橫圖。不過這些創作在數學內容的難度上,並沒有顯著的提昇。基本上把 $l,2,3, \cdots, n$ 配成數對 (1,n), (2, n-1), (3, n-2) ……,每一對的和均為 n+l,再適當的把這些數對安置在一些圖形上,便得到非方形的縱橫圖。

 
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最後修改日期:3/10/2004