機率應用:可靠性

翁秉仁

 



首頁 | 搜尋

.作者任教於台大數學系
.本文節錄改寫自作者《微積分講義》
 

人類的工作環境非常依賴機器設備 , 各式工廠的生產線, 家庭中的電器或電線 配置 (例如簡單的電燈配置), 公司內的電話, 電腦, 影印機等的聯線配置, 汽 車內必要零件的配置等. 但是設備總有故障的時候, 因此以最少成本裝配出盡 量少故障的配置方式是機率理論的一種應用.

L 表示某裝置壽命的隨機變數, 一設備的可靠度定義成

\begin{displaymath}R_L(t)=P(L> t)\quad (\mbox{{\MdQ\char 185}\hskip 0.0pt plus0....
...\MbQ\char 156}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MhQ\char 48}})\end{displaymath}

注意到 RL(t)fL(t) 的關係是

\begin{displaymath}f_L(t) = F_L'(t)=\big(P(L\leq t)\big)'=\big(1-P(L>t)\big)'
=-R_L'(t)\end{displaymath}

所以設備的平均壽命為

\begin{eqnarray*}
E(L)&=&\int_0^{\infty} t f_L(t)\; dt\\
&=& \int_{0}^{\infty}{...
...}+\int_0^{\infty} R_L(t)\; dt \\
&=&\int_0^{\infty} R_L(t)\; dt
\end{eqnarray*}


(常識說 $P(L> \mbox{{\MbQ\char 39}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ\char 215}} N)$ 的機率非常非常小, 不妨假設 $\lim_{t\rightarrow\infty} tR_L(t)=0$)

例. 一個常用的壽命機率分配是指數分配: $\mu e^{-\mu t}$, t>0.

這相當於說, 在一定時間內, 一設備故障的次數遵守 Poisson 分配, 而壽命相當於等候它故障的時間. 因此這裡 L 其實就是前節的 W.

由指數分配的性質知

\begin{eqnarray*}
R_L(t)&=&\int_t^{\infty}\mu e^{-\mu t} dt=e^{-\mu
t}\\
E(L)&=&\int_0^{\infty} R(t)\; dt=\frac{1}{\mu}
\end{eqnarray*}


配置有兩種最基本的型態: 串聯與並聯

(一) 串聯: 有一個設備或零件故障, 系統就故障.



將串聯在一起的設備 L1, L2, …, Ln, 看成一部大機 器 $\hat L$. 則此大機器的可靠性 $R_{\hat L} (t)$ 是各零件設備可靠性 $R_i(t)\equiv R_{L_i}(t)$ 的某種函數: 假設各設備之運作獨立, 則

\begin{eqnarray*}
R_{\hat L}(t)&=&P(\hat{L}>t)\\
&=&P(L_1>t) \cdot P(L_2>t)\cdots P(L_n>t)\\
&=&R_1(t)\cdot R_2(t)\cdots R_n(t)
\end{eqnarray*}


例如假設各零件之可靠性為 $e^{-\lambda_i t}$, 則 此串聯機器之可靠性為 $e^{-(\lambda_1+\cdots +\lambda_n)t}$.

(二) 並聯: 只要有一個設備不故障則整個系統就可以運轉.




\begin{eqnarray*}
R_{\hat L}(t)&=&P(\hat{L}>t)\;\;=\;\;1-P(\hat{L}\leq t)\\
&=&...
...g(1-R_1(t)\big)\cdot \big(1-R_2(t)\big)\cdots
\big(1-R_n(t)\big)
\end{eqnarray*}


例如並聯兩上述設備之可靠度為:

\begin{displaymath}1-(1-e^{-\lambda_1t})(1-e^{-\lambda_2t})=e^{-\lambda_1t}+e^{-\lambda_2t}
-e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\end{displaymath}

我們可比較串聯與並聯兩設備(可靠度都是 $e^{-\frac{t}{\mu}}$) 之壽命.

\begin{eqnarray*}
&\mbox{{\MdQ\char 7}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\McQ\cha...
...u}}-e^{-\frac{2t}{\mu}})\; dt=
2\mu-\frac{\mu}{2}=\frac{3}{2}\mu
\end{eqnarray*}


習題: 同上例考慮 n 部可靠度都是 $e^{-{t\over \mu}}$ 的設備 , 證明

\begin{eqnarray*}
\mbox{{\MdQ\char 7}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\McQ\cha...
... 58}} &\mbox{:}& E(\hat{L})=(1+{1\over 2}+\cdots +{1\over
n})\mu
\end{eqnarray*}


習題:
(1) 一系統配置如下圖, 假設單一零件壽命皆遵守指數分配, 且平均壽命均為 6 個月, 求此配置系統之平均壽命?
(2) 求出整個系統壽命之機率密度函數並作圖.



 
對外搜尋關鍵字:
指數分配

回頁首

(若有指正、疑問……,可以在此 留言寫信 給我們。)

EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


最後修改日期:9/30/2001