Poisson 分配、指數分配與排隊理論

翁秉仁

 




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.作者任教於台大數學系
.本文節錄改寫自作者《微積分講義》
 


Poisson 分配

考慮下列現象:每小時服務台訪客的人數,每天家中電話的通數,一本書中每頁的錯字數,某條道路上每月發生車禍的次數,生產線上的疵品數,學生到辦公室找老師的次數……。大致上都有一些共同的特徵:在某時間區段內,平均會發生若干次「事件」,但是有時候很少,有時又異常地多,因此事件發生的次數是一個隨機變數,它所對應的機率函數稱為 Poisson 分配。

一個 Poisson 過程有三個基本特性:

(1) 在一個短時間區間 $\Delta t$ 內,發生一次事件的機率與 $\Delta t$ 成正比: $\lambda \Delta t$
(2) 在短時間內發生兩次以上的機率可以忽略。
(3) 在不重疊的時間段落裡,事件各自發生的次數是獨立的。

各位可以驗證上述各種實際的例子,是不是相當符合 Poisson 過程的定義?

現令 P(k,T) 表示在時間區間 T 中發生 k 次事件的機率(注意 T 表示時間區間的長度,而不是絕對時間),由(1)(2)知 $P(1,\Delta t)=\lambda\Delta t$,且 $P(k,\Delta t)=0$, $k\geq 2$。現將 T 分割成 N 個短時間區段 (即 $T=N\Delta t$),利用 (3) 各時間區段出現之事件是獨立的條件,可知

\begin{eqnarray*}
P(k,T)& \approx & C^N_k (\lambda \Delta t)^k(1-\lambda\Delta ...
...cdot
\frac{(1-\frac{\lambda T}{N})^N}{(1-\frac{\lambda T}{N})^k}
\end{eqnarray*}


固定 k,當 $N\rightarrow\infty$

\begin{displaymath}P(k,T)=\frac{(\lambda T)^k}{k!}e^{-(\lambda T)} \quad
(\mbox{...
...{\MbQ\char 41}} (1+\frac{\alpha}{N})^N\rightarrow e^{\alpha }) \end{displaymath}

由上可知 Poisson 分配是二項分配 B(N,p,q) 的一種極限,其中 Np= 常數 $\lambda T$,再讓 $N\rightarrow\infty$。另外,我們通常將 $\lambda T$ 記為 m,表示在時間區間 T 中,平均的發生次數(見下面習題)。

習題:
(1) 驗證 $\sum_{k=0}^{\infty} P(k,T)=1$

(2) 令 $P_X(k)=\frac{m^k}{k!}e^{-m}$, $k=1,2,3,\cdots$。 求 E(X)Var(X)

(Ans. m, m.)

例.
一公司之電話通數大約每小時 20 通,求在 5 分鐘內一通電話也沒有的機率? 每小時 20 通, 表示每分鐘平均 $\lambda =\frac{1}{3}$ 通/分。 因此在 5 分鐘的時間區間中, 平均的電話通數為 $ m=\lambda T=
\frac{1}{3}\times 5=\frac{5}{3}$。所以

\begin{displaymath}P(k)\;\equiv\;P(k,5)\;=\;\frac{(\frac{5}{3})^k}{k!} e^{-\frac{5}{3}},
\quad k=0,1,2,\cdots\end{displaymath}

所以沒有一通電話的機率 $P(0)= e^{-\frac{5}{3}}\;\approx\; 0.19 $。 有了 P(k),我們可以回答許多類似的問題:在 5 分鐘內有 4 通電話的機率是 $P(4)=\frac{\frac{5}{3}^4}{4!}e^{-\frac{5}{3}}\approx
0. 06$,大概每十六次才有一次。在 5 分鐘內有超過 3 通電話的機率是

\begin{displaymath}\sum_{k=4}^{\infty}\frac{(\frac{5}{3})^k}{k!} e^{-\frac{5}{3}...
...=0}^{3}\frac{(\frac{5}{3})^k}{k!}
e^{-\frac{5}{3}}\approx 0.09\end{displaymath}

經計算這個機率分配的期望值 $= \frac{5}{3}$,標準差 $=\sqrt{\frac{5}{3}}\approx 1.29$。右圖是 P(k) 的圖形,當然由於 $k= 0,1,\cdots$,所以這只是部分圖形。讀者可與一般的二項分配的圖形比較。



$E(X)=\frac{5}{3} \approx 1.67 \;\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\frac{5}{3}} \approx 1.29$

例. 下表是 1910 年 Rutherford 觀察放射性物質放射 α 粒子的記錄,每次觀察 7.5秒,共觀察 2608 次。
粒子數 次數 頻率 P(k)
0 57 0.022 0.021
1 203 0.078 0.081
2 383 0.147 0.156
3 525 0.201 0.201
4 532 0.204 0.195
5 408 0.156 0.151
6 273 0.105 0.097
7 139 0.053 0.054
8 45 0.017 0.026
9 27 0.010 0.011
$\geq 10$ 16 0.006 0.007
$m=\frac{10094}{2608}=3.87$

這裡 P(k)=P(k,7.5),其中 $P(k)= \frac{m^k}{k!}e^{-m}$m=3.87(見表最末欄),為 7.5 秒中 α 粒子放射之平均個數。 可以看到,如果假設 α 粒子的放射是一 Poisson 過程,結果相當吻合。

例. 令一放射性物質在時間 t 時所含之放射性粒子總量為 N(t),如果假設放射粒子是一 Poisson 過程,則在短時間 $\Delta t$ 後,

\begin{displaymath}N(t+\Delta t)-N(t)=-(\lambda \Delta t)N(t) \end{displaymath}

注意到 $(\lambda\Delta t)N(t)$ 是一期望值的形式。所以

\begin{displaymath}N'(t)\approx \frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t) \end{displaymath}

這可看成輻射定律的「證明」。

 
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輻射定律
 
指數分配與排隊理論

W 表示在 Poisson 過程中,由開始到第一次事件發生的時間(這是一隨機變數)。由上節知

\begin{eqnarray*}
P(W>t)&=&P(  \mbox{{\MaQ\char 202}} [0,t] \mbox{{\MaQ\char 50...
...t minus0.1pt{\MbQ\char 222}} ) \\
&=&e^{-\lambda t}, \quad t>0
\end{eqnarray*}



\begin{displaymath}F_W(t)=P(W\leq t)=1-P(W>t) =1-e^{-\lambda t} \end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}f_W(t)=F_W'(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \quad t>0 \end{displaymath}

這個機率分配稱為指數分配。可計算得 $E(W)=\frac{1}{\lambda}$,這就是第一次事件發生的平均時間。另外, $Var(W)=\frac{1}{\lambda^2}$

現在讓我們討論排隊理論。排隊的現象無所不在:買各種票、吃自助餐、超商、百貨公司……等。顧客揣度「應該排那一服務櫃台會比較快?」「到底還要排多久?」是城市生活的基本問題;相對的,商家也要盤算到底在何時要開幾個窗口櫃台才符合成本,探討這個問題的數學理論通稱為排隊理論,而指數分配經常被用到排隊理論,當作服務客人時間(這是一隨機變數)的機率密度函數。

讓我們假設某櫃台,服務客人的平均時間為 μ,想像在服務結束後,櫃員會亮燈請下一位客人進來,則亮燈的平均時間是 μ。若將「燈亮」視為一事件發生,則亮燈的過程近似於一 Poisson 過程。而且前面定義的 W 正好表示兩次亮燈間的間隔。所以 W 的機率密度函數是指數分配:

\begin{displaymath}f_W(t)=\frac{1}{\mu}e^{-\frac{1}{\mu}t},\quad t>0 \end{displaymath}

例.
現假設一櫃台平均服務時間為 3 分鐘,設等待時間的機率密度函數為

\begin{displaymath}f_W(t)=\frac{1}{3} e^{-\frac{t}{3}}, t>0 \end{displaymath}

(1)等候時間超過6分鐘的機率是多少?

\begin{eqnarray*}
P(W>6)&=& \int_{6}^{\infty}{\frac{1}{3} e^{-\frac{t}{3}}}dt
= ...
...\frac{t}{3}}\big)\big\vert _6^b \\
&=& e^{-2}\; \approx \; 0.14
\end{eqnarray*}


事實上,等候超過 T 分鐘的機率是 $e^{-\frac{T}{3}}$
(2) 另一個合理的問題是,如果在我前面還有另一個客人,則我怎麼描述,我等待時間的機率分配呢?

W1 是第一個客人等待的時間,W2 是第一個客人開始被服務後,我所等待的時間,則 $W_1 \;\sim\; W_2\; \sim \; W $,而且總等待時間 U = W1+W2,另外顯然 W1W2 是互相獨立的。所以我們的問題就是要計算 fU(t),由309頁例子的方法,可以計算得

\begin{displaymath}f_U(t) = \frac{1}{9} t e^{-\frac{t}{3}},\quad t>0 \end{displaymath}

或者,如果將指數分配 fW(t) 想成是 $\Gamma(1,\frac{1}{3})$ 分配,則此相當於

\begin{displaymath}\Gamma(1,\frac{1}{3})+\Gamma(1,\frac{1}{3})
\;\sim\; \Gamma(2,\frac{1}{3})\qquad \end{displaymath}

因此如果我們想知道總等候時間不超過 5 分鐘的機率,則

\begin{eqnarray*}
P(U\leq5)&=& \int_{0}^{5}{\frac{1}{9} t e^{-\frac{t}{3}}}dt ...
...0^5 + 3 \int_0^5
e^{-\frac{t}{3}} \; dt \right)\\
&\approx& 0.5
\end{eqnarray*}


有一半的機會。
(3) 如果前面有 n-1 個客人時,則可定義 $U=W_1+W_2+ \cdots +
W_n $,其中 Wi 彼此獨立,由 Gamma 分配性質知 $U \sim \Gamma(n, \frac{1}{3})$,即

\begin{displaymath}f_U(t)\; =\; \frac{1}{3^n(n-1)!} t^{n-1}e^{-\frac{t}{3}},
\quad t>0
\end{displaymath}

這告訴我們 $\Gamma(\alpha, \beta)$ 分配與排隊理論的關係。我們將細節留作習題。

習題:
(1) 超級市場一服務員平均服務時間為 2 分鐘,若用指數分配當作等候時間之機率分配,則機率密度函數是什麼?
(2) 如果他正開始服務一位客人,而你前面還有一位客人在等候,則你會等超過 6 分鐘的機率是多少?
(3) 若服務員甲平均服務時間為 2 分鐘,而服務員乙之平均服務時間為 3 分鐘,如果你選擇乙,你朋友選擇甲,且一起開始接受服務,則你會比朋友快的機率是多少?(當然甲與乙的服務是相互獨立的) 你能給出一個一般的計算公式嗎?

   

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最後修改日期:9/30/2001