經濟學應用:無差異曲線

翁秉仁

 



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.作者任教於台大數學系
.本文節錄改寫自作者《微積分講義》
 

在夏天,冰淇淋與西瓜都有消暑的功效,但是顯然吃多了冰淇淋,您就不想吃西瓜,反之亦然。這表示冰淇淋與西瓜間有替代的功能存在。如果我們將這種替代效果,理想地描繪出來,就變成右圖的所謂無差異曲線,每一條曲線各表示同樣效用的替代關係。如果令 g(x,y) 表示 x 單位西瓜與 y 單位冰淇淋的效用函數,則無差異曲線就是 g(x,y)=C 的曲線族(等效用線)。



X= 西瓜,Y= 冰淇淋

Claim.
由常識,無差異曲線是遞減,凹向上的不相交曲線族。

說明:
(1) 遞減 $(y'(x) \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}<0)$: 多吃西瓜就會少吃冰淇淋(這正是替代的意思)。
(2) 凹向上(即 $-y\;'\approx -\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 會遞減):當西瓜所佔的份量多時,多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量, 顯然比西瓜少時,多吃一片西瓜能代替的冰淇淋份量來得少,這是邊際效用遞減的結 果。

習題:
說明無差異曲線不應該相交。(Hint:若相交在替代效應上會出現荒謬的結果。)

現在假設, 我們有一筆固定而且要花光的預算來買西瓜與冰淇淋,

\begin{displaymath}P_x\cdot x+P_y\cdot y=B \end{displaymath}

其中Px 為西瓜的價格,Py 為冰淇淋的價格,B 是總預算。我們希望 得到最大的效用,這是一個有限制條件的極值問題,令

f(x,y)=Px x+Py y-B=0

由 Lagrange 乘子法

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
{{{\partial g}\over {\partial x}}=\lambda\cd...
... y}}=\lambda\cdot P_y}\\
{P_x\cdot x+P_y\cdot y=B}
\end{array}\end{displaymath}

由此我們得到,極值點滿足方程式

\begin{displaymath}\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{P_x}=
\frac{\frac{\partial g}{\partial y}}{P_y}\end{displaymath}

即各自邊際效用與價格比率相等之點。



習題:
請經濟地解釋這個定理。

現假設

\begin{displaymath}g(x,y)=\frac{xy}{2x+y}, \quad x,y>0\end{displaymath}

Px=1, Py=2, B =9,代入前面的方程式得

\begin{displaymath}\frac{y^2}{1}\;=\;\frac{2x^2}{2}\end{displaymath}

y=xy = -x 不合),所以 x+2y=9,解得 x=3, y=3



注意到,y=x 的解條件其實與 B 的大小無關,這表示隨著預算的昇高,總採購量雖然變多了,但是西瓜與冰淇淋購買的比例卻保持為 1:1。 這個消費者,並沒有因為預算的增加,就特別偏袒某一項產品。

習題:
(續上例) 若 Px=2, Py=1, 會造成偏袒嗎?

(Ans. 極值點條件為 y=2x,比例固定為 1:2,不因為預算升高而偏袒某商品。)

習題:
$g(x,y)= \frac{xy}{ x+2y}$, Px=1, Py=3, B=20

(1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。

(2) 求極值點之條件。

(3) 有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生?

習題:
$g(x,y)=\root 3 \of x\sqrt y$, x, y>0, Px=1, Py=2, B =20.

(1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。

(2) 求 x, y 購買之數量?

(3) 有沒有因為預算升高而偏袒某商品的情形發生?

習題:
設商品 X,Y 可相互替代,效用函數為 $g(x,y)=x^{\alpha}+y^{\beta}$,其中 $0\leq \alpha,\beta <1$, x,y >0.

(1) 說明 g(x,y)=C>0 滿足無差異曲線的要求。

(2) 取 $(\alpha,\beta)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3}),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),
(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ 三種情況,討論極值點條件與偏袒的問題。

(3) 證明當預算升高時,一般會發生如下偏袒現象

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{ll}
\alpha > \beta\quad & \mbox{ {\MdQ\...
....0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MnQ\char 244} }
\end{array} \right. \end{displaymath}

   

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最後修改日期:9/30/2001