經濟學應用：合作還是不合作

翁秉仁

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．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

註釋

假設台灣只有兩地生產某種草藥，而兩地分別控制在兩個財團 X 與 Y 手裡，由於是天然產品，不需要任何成本，收益即是淨利。設控制市場價格的函數為

P(t)=100-t

考慮幾種競爭策略（設 X 之產量為 x 單位，Y 產量為 y 單位）

(1) （不合作）：兩方分別假設對方產量不變下，設法賺到最大利潤

$\begin{eqnarray*} X \mbox{{\MbQ\char 237}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ... ...minus0.1pt{\MgQ\char 226}} R_Y &=&(100-(x+y))y\\ &=&100-y^2-xy \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} \left.\begin{array}{l} 0=\frac{\partial R_X}{\partial x}=10... ...y \end{array} \right\} \quad\Rightarrow\quad x=y=\frac{100}{3} \end{displaymath}$

且 $R_X=R_Y=(100-\frac{200}{3})\cdot \frac{100}{3}= \frac{10000}{9}$

(2) （合作）：假設兩方合作，讓總利潤最大，再依各別比例分攤利潤。

$\begin{displaymath}\mbox{{\McQ\char 44}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ\ch... ...MgQ\char 226}} R(x,y)\; \equiv\; R_X + R_Y\;=\;(100-(x+y))(x+y)\end{displaymath}$

但

$\begin{displaymath}D(x,y)= \left\vert \begin{array}{cc} -2&-2 -2&-2\end{array}\right\vert=0\end{displaymath}$

無法用二階測試，將 R(x,y) 重寫成

R(x,y)= 2500 -((x+y)-50)²

故知在此條件 x+y=50 下，總利潤為最大 =2500。假設兩方協議產量相同，則 x=y=25

$\begin{displaymath}\mbox{{\MaQ\char 174}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ\c... ...\char 226}} \;=\; 50\cdot 25=1250>{{10000}\over 9}\approx 1111 \end{displaymath}$

因此合作的策略勝於不合作，但是……

(3) （背叛）：在(2)的前提下，起先假設雙方進行合作各生產 25 單位的商品。如果財團 Y 想要背叛對方以獲得更多的利潤，他應該生產多少單位呢？由題意知

$\begin{displaymath}Y \mbox{{\MbQ\char 237}\hskip 0.0pt plus0.2pt minus0.1pt{\MaQ... ... minus0.1pt{\MgQ\char 226} }R_Y\;=\;(100-(25+y))y \;=\; (75-y)y\end{displaymath}$

這是單變數的極值問題，由 $\frac{dR_Y}{dy}=75-2y$ ， $\frac{d^2 R_Y}{dy^2}=-2$ ，R_Y 最大值發生在 $y=\frac{75}{2}$ 因此

$\begin{eqnarray*} R_Y &=& \frac{75}{2}\cdot \frac{75}{2}=\frac{75^2}{4}\;\approx\; 1406\\ R_X &=&(100-(25+\frac{75}{2}))\cdot 25 =937.5 \end{eqnarray*}$

Y 獲得超高利潤，但 X 則損失慘重，

我們將 X，Y 合作與不合作（背叛）兩種策略列表如下

$\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline & Y\mbox{{\M... ...aQ\char 84}} & (1406,937.5)& (1111,1111) \\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

(a,b) 中 a 表示 X 方得到的利潤，b 表示 Y 得到的利潤。

注意到

: (甲) 背叛獲益＞合作獲益＞不合作獲益＞遭背叛之獲益。
: (乙) 背叛與遭背叛之總獲益不高於合作之總獲益。

這樣的策略利益配置在（非零和）對局論中稱為囚犯困境 (prisoner's dilemma) ¹ ；是討論由自私理性的眾多個體，如何演化出利他合作的群體行為時一個非常典型的問題：生物的利他行為、人類道德的起源、社會組織的出現、政黨的協調、國家的合作競爭等，都與這個合作與背叛的母題習習相關。

問題：

: (1) 想想看你如果是 X，下一步你會怎麼做？
: (2) 將 X，Y 想成是 X，Y 兩鄉的鄉長，兩方要進行垃圾戰，試想像中間所隱含的囚犯困境。

: 習題：在 (2) 也可以假設雙方先協議生產同樣單位之商品，利用這個想法，重新證明 (2) 的結果。

: 習題： P(t) 改為 $\frac{t^2}{300}-\frac{4}{3}t+100$ , $0 \leq t \leq 100$ ，重新分析這兩種策略？結論不變嗎？

: 習題：想想看，為什麼(乙)的條件是重要的？

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最後修改日期：9/30/2001