開車應該開多快

翁秉仁

首頁 | 搜尋

．作者任教於台大數學系
．本文節錄改寫自作者《微積分講義》

假設一部車的耗油速率（公升/時）與速度（公里/時）的關係為

$\begin{displaymath}C(v)=5 \cdot(\frac{1}{10000}v^2-\frac{1}{100}v+1)\end{displaymath}$

（速度很低時，通常耗油速率較大）

如前，很容易就可以求得，當

$\begin{displaymath}C'(v)=0\Rightarrow v=50\end{displaymath}$

時耗油的速度最低，所以，我們似乎應該以每小時 50 公里的速度開車。

但是仔細想想，應該會發現一個問題（當然連高速公路都上不了是另一個問題）：我們走得這麼慢，那總耗油量豈不是反而變大了嗎？如果我們要去高雄，難道開快車所省下的時間，不能抵銷掉耗油速率變大的損失嗎？

讓我們整理一下，假設我們目的地距離為 L 公里，假設以等速 v 開車，所用的時間為 $\frac{L}{v}$ 。所以總耗油量為

$\begin{eqnarray*} T(v)&=&c(v)\cdot \frac{L}{v}=L\cdot \frac{c(v)}{v}\\ \Rightar... ...ot \frac{L}{v^2}(\frac{1}{10000}v^2-1)=0 \\ &\Rightarrow& v=100 \end{eqnarray*}$

如果幾何地看， $\frac{c(v)}{v}$ 可以看成原點到 (v,c(v)) 點連線的斜率。所以，如右圖，最小值會發生在此連線恰巧是切線的時候。

由上知，不管距離遠近，最經濟的開法都是時速 100 公里。最後，請不要忘了，在高速公路某些路段，這是違法的，所以由上圖，幾何地理解一下，知道 90 至 100 公里是最佳選擇。

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

最後修改日期：9/30/2001